第4章 非线性方程数值解法.ppt
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1、,第4章 非线性方程的数值解法,本章重点介绍求解非线性方程 的几种常见和有 效的数值方法,同时也对非线性方程组 求解,简单介绍一些最基本的解法.无论在理论上,还是在 实际应用中,这些数值解法都是对经典的解析方法的突 破性开拓和补充,许多问题的求解,在解析方法无能为力 时,数值方法则可以借助于计算机出色完成.,4.1二分法,求非线性方程,确定方程的有根区间 计算根的近似值,的根的方法,分为两步:,首先确定有限区间:依据零点定理。 设 ,且 ,则方程 在区间 上至少有一个根。如果 在 上恒正或恒负,则此根唯一。,等步长扫描法求有根区间,用计算机求有根区间:等步长扫描法。 设h0是给定的步长,取 ,
2、 若 则扫描成功;否则令 ,继续上述方法,直到成 功。如果 则扫描失败。再将h 缩小, 继续以上步骤。,等步长扫描算法,算法:(求方程 的有根区间) (1) 输入 ; (2) ; (3) ,若 输出失败信息,停机。 (4)若 。输出 ,已算出方程的一个根,停机。,等步长扫描算法,(5) 若 。输出 为有根区间,停机 (6) ,转 3) 注:如果对足够小的步长h扫描失败。说明: 在 内无根 在 内有偶重根,二分法,用二分法(将区间对平分)求解。 令 若 ,则 为有根区间,否则 为有根区间 记新的有根区间为 , 则 且,二分法,对 重复上述做法得 且,二分法,设 所求的根为 , 则 即 取 为 的
3、近似解,求方程f(x)=0的根的二分法算法,求方程f(x)=0的全部实根的二分法算法,求方程f(x)=0的全部实根的二分法算法,例题,例1 设方程 解:取h=0.1,扫描得: 又 即 在 有唯一根。,x=1:0.001:1.5; y=x.3-x-1; z=0; plot(x,y,r,x,z,b),例2 对 求出1,1.5的实根,要求误差不超过0.005 解:f=x3-x-1; bisection(f,1,1.5,20,5e-3) n xa xb xc fc 1.0000 1.0000 1.5000 1.2500 -0.2969 2.0000 1.2500 1.5000 1.3750 0.224
4、6 3.0000 1.2500 1.3750 1.3125 -0.0515,4.0000 1.3125 1.3750 1.3438 0.0826 5.0000 1.3125 1.3438 1.3281 0.0146 6.0000 1.3125 1.3281 1.3203 -0.0187 7.0000 1.3203 1.3281 1.3242 -0.0021 x*= 1.3242,4.2一般迭代法,4.2.1 迭代法及收敛性 对于 有时可以写成 形式 如:,迭代法及收敛性,考察方程 。这种方程是隐式方程,因而不能直接求出它的根,但如果给出根的某个猜测值 , 代入 中的右端得到 ,再以 为一个猜测
5、值,代入 的右端得 反复迭代得,迭代法及收敛性,若 收敛,即 则得 是 的一个根,迭代法的几何意义,交点的横坐标,y=x,简单迭代法,将 变为另一种等价形式 。 选取 的某一近似值 ,则按递推 关系 产生的迭代序列 。这种方法算为简单迭代法。,例题,解:输入bdd,例题,例4.2.2 试用迭代法求方程 在区间(1,2)内的实根。 解:由 建立迭代关系 k=10,1,2,3. 计算结果如下:,例题,精确到小数点后五位,例题,但如果由 建立迭代公式 仍取 ,则有 , 显然结果越来越大, 是发散序列,迭代法的收敛性,定理4.2.1(压缩映像原理) 设迭代函数 在闭区间 上满足 (1) (2) 满足L
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- 第4章 非线性方程数值解法 非线性 方程 数值 解法